વિજ્ઞાન ધોરણ 9 પ્રકરણ 9 ગુરુત્વાકર્ષણ: સ્વાધ્યાય

૧. જો બે પદાર્થો વચ્ચેનું અંતર અડધું કરવામાં આવે, તો તેમની વચ્ચે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કેટલું થશે?

ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ છે: F ∝ 1/r² (બળ અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે).

જો અંતર અડધું (r/2) કરવામાં આવે, તો નવું બળ (F_new) ∝ 1 / (r/2)² = 1 / (r²/4) = 4 × (1/r²).

આથી, બળ ચાર ગણું થશે.

૨. દરેક પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેમના દળના સમપ્રમાણમાં હોય છે, તો પછી એક ભારે પદાર્થ, હલકા પદાર્થની સાપેક્ષમાં વધુ ઝડપથી નીચે કેમ પડતો નથી ?

કારણ કે પદાર્થનો પ્રવેગ (g) તેના દળ (m) પર આધાર રાખતો નથી.

આપણે જાણીએ છીએ કે, F = ma (ન્યૂટનનો બીજો નિયમ) અને F = G(Mm)/r² (ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ).

બંનેને સરખાવતાં: ma = G(Mm)/r²

બંને બાજુથી પદાર્થનું દળ (m) દૂર કરતાં: a = GM/r²

આ સૂત્ર મુજબ, પદાર્થનો પ્રવેગ (a અથવા g) ફક્ત પૃથ્વીના દળ (M) અને અંતર (r) પર આધાર રાખે છે, પદાર્થના પોતાના દળ (m) પર નહિ. આથી (હવાના અવરોધને અવગણતાં) ભારે અને હલકા પદાર્થ બંને એક સમાન પ્રવેગ (g) થી નીચે પડે છે.

૩. પૃથ્વી તથા તેની સપાટી પર રાખેલ 1 kg ના પદાર્થ વચ્ચે લાગતા ગુરુત્વીય બળનું મૂલ્ય કેટલું હશે? (પૃથ્વીનું દળ 6 × 10²⁴ kg તથા પૃથ્વીની ત્રિજ્યા 6.4 × 10⁶ m છે.)

આપેલ વિગત:

પૃથ્વીનું દળ (M) = 6 × 10²⁴ kg
પદાર્થનું દળ (m) = 1 kg
ત્રિજ્યા (R) = 6.4 × 10⁶ m
ગુરુત્વીય અચળાંક (G) = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²

ગણતરી (F = G(Mm)/R²):

F = (6.67 × 10⁻¹¹) × (6 × 10²⁴) × 1 / (6.4 × 10⁶)²

F = (40.02 × 10¹³) / (40.96 × 10¹²)

F = 0.977 × 10¹ = 9.77 N

(અથવા, F = mg = 1 kg × 9.8 m/s² = 9.8 N (આશરે))

૪. પૃથ્વી તથા ચંદ્ર એકબીજાને ગુરુત્વાકર્ષણ બળથી આકર્ષે છે. શું પૃથ્વી જે બળથી ચંદ્રને આકર્ષે છે તે બળ, ચંદ્ર જે બળથી પૃથ્વીને આકર્ષે છે તે બળથી વધારે, ઓછું કે તેના જેટલું જ હશે ? સમજાવો કેમ ?

બંને બળો સમાન મૂલ્યના હશે.

કારણ: ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ (આઘાત અને પ્રત્યાઘાત) મુજબ, પૃથ્વી ચંદ્ર પર જેટલું આકર્ષણ બળ (આઘાત) લગાડે છે, ચંદ્ર પણ પૃથ્વી પર તેટલા જ મૂલ્યનું અને વિરુદ્ધ દિશામાં આકર્ષણ બળ (પ્રત્યાઘાત) લગાડે છે.

૫. જો ચંદ્ર પૃથ્વીને આકર્ષિત કરતો હોય તો પૃથ્વી ચંદ્ર તરફ ગતિ કેમ કરતી નથી ?

ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ (F = ma) મુજબ, પ્રવેગ (a) = બળ (F) / દળ (m).

પ્રશ્ન 4 મુજબ, પૃથ્વી અને ચંદ્ર વચ્ચે લાગતું બળ (F) સમાન છે.
પરંતુ, પૃથ્વીનું દળ (m) ચંદ્રના દળ કરતાં ઘણું વધારે છે.
આથી, પૃથ્વીનો પ્રવેગ (a = F/m) ચંદ્રના પ્રવેગની સરખામણીમાં નહિવત્ (લગભગ શૂન્ય) હોય છે. આ કારણે પૃથ્વી ચંદ્ર તરફ ગતિ કરતી જણાતી નથી.

૬. બે પદાર્થો વચ્ચે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શું થશે જો (i) એક પદાર્થનું દળ બમણું કરવામાં આવે ? (ii) પદાર્થો વચ્ચેનું અંતર બમણું (બે ગણું) અને ત્રણ ગણું કરવામાં આવે ? (iii) બંને પદાર્થોનાં દળ બમણાં કરવામાં આવે ?

ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ, બળ (F) $\propto$ (m¹m²) / r²

(i) જો એક પદાર્થનું દળ બમણું થાય તો બળ (F) પણ બમણું (બે ગણું) થશે.
(ii) બળ અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં (F $\propto$ 1/r²) હોય છે.
- જો અંતર બમણું (2r) થાય, તો બળ 1/(2²) = 1/4 (ચોથા ભાગનું) થશે.
- જો અંતર ત્રણ ગણું (3r) થાય, તો બળ 1/(3²) = 1/9 (નવમા ભાગનું) થશે.
(iii) જો બંને પદાર્થોનાં દળ બમણાં થાય (2m¹ અને 2m²), તો બળ (2 × 2) = ચાર ગણું થશે.

૭. ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક નિયમનું શું મહત્ત્વ છે ?

ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક નિયમનું મહત્ત્વ:

(1) તે આપણને પૃથ્વી સાથે બાંધી રાખતું બળ સમજાવે છે.
(2) પૃથ્વીની ફરતે ચંદ્રના પરિક્રમણ માટે આ બળ જવાબદાર છે.
(3) સૂર્યની ફરતે ગ્રહોના પરિક્રમણ માટે આ બળ જવાબદાર છે.
(4) ચંદ્ર તથા સૂર્યને કારણે દરિયામાં આવતી ભરતી અને ઓટ આ બળને આભારી છે.

૮. મુક્ત પતન એટલે શું ?

જ્યારે કોઈ પદાર્થ પૃથ્વીના માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ ગતિ કરતો હોય (પડતો હોય), ત્યારે તે પદાર્થ મુક્ત પતન (Free Fall) કરે છે તેમ કહેવાય. મુક્ત પતન કરતો પદાર્થ અચળ પ્રવેગ (g) થી ગતિ કરે છે.

૯. ગુરુત્વીય પ્રવેગ એટલે શું ?

જ્યારે કોઈ પદાર્થ પૃથ્વી તરફ મુક્ત પતન કરતો હોય, ત્યારે પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને લીધે તેના વેગમાં થતા વધારાને (એટલે કે, પદાર્થમાં ઉદ્ભવતા પ્રવેગને) ગુરુત્વીય પ્રવેગ (g) કહે છે. પૃથ્વીની સપાટી પર તેનું સરેરાશ મૂલ્ય 9.8 m s⁻² છે.

૧૦. પદાર્થના દળ તથા તેના વજન વચ્ચે શું તફાવત છે ?

મુદ્દો	દળ (Mass)	વજન (Weight)
(1) વ્યાખ્યા	તે પદાર્થમાં રહેલા દ્રવ્યનો જથ્થો છે.	તે પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (W = mg) છે.
(2) ફેરફાર	તે અચળ હોય છે, સ્થાન બદલાતાં બદલાતું નથી.	તે સ્થાન મુજબ બદલાય છે (કારણ કે 'g' બદલાય છે).
(3) એકમ	કિલોગ્રામ (kg).	ન્યૂટન (N).

૧૧. એક કાગળની શીટ, તેના જેવા જ કાગળને ડૂચો વાળી બનાવેલ દડા કરતાં ધીમેથી કેમ પડે છે ?

આ ઘટના હવાના અવરોધને કારણે બને છે.

કાગળની શીટનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ મોટું હોવાથી, તેના પર લાગતું હવાનું અવરોધક બળ (જે ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે) વધુ હોય છે, જે તેની ગતિને ધીમી પાડે છે.
કાગળના ડૂચાનું ક્ષેત્રફળ નાનું હોવાથી, તેના પર હવાનો અવરોધ ઘણો ઓછો લાગે છે, તેથી તે લગભગ મુક્ત પતનની નજીકની ગતિથી ઝડપથી નીચે પડે છે.

૧૨. પદાર્થનું ચંદ્ર પર વજન, પૃથ્વી પરના તેના વજન કરતાં 1/6 ગણું કેમ હોય છે ?

પદાર્થનું વજન (W) તેના ગુરુત્વીય પ્રવેગ (g) પર આધાર રાખે છે (W = mg).

ચંદ્રનું દળ પૃથ્વીના દળ કરતાં ઓછું છે અને તેની ત્રિજ્યા પણ પૃથ્વી કરતાં ઓછી છે. આ બંને પરિબળોની સંયુક્ત અસરથી, ચંદ્રનો ગુરુત્વીય પ્રવેગ (g_{ચંદ્ર}) પૃથ્વીના ગુરુત્વીય પ્રવેગ (g_{પૃથ્વી}) કરતાં આશરે છઠ્ઠા ભાગ (1/6) નો છે.

આથી, ચંદ્ર પર પદાર્થનું વજન = m × (g_{પૃથ્વી} / 6) = (પૃથ્વી પરનું વજન) / 6, એટલે કે છઠ્ઠા ભાગનું હોય છે.

૧૩. એક બૉલને ઊર્ધ્વદિશામાં 49 m s⁻¹ ના વેગથી ફેંકવામાં આવે છે. (g = 9.8 m s⁻²) (i) તેણે પ્રાપ્ત કરેલ મહત્તમ ઊંચાઈ શોધો. (ii) પૃથ્વીની સપાટી પર પાછા ફરતાં તેને લાગતો કુલ સમય શોધો.

આપેલ વિગત:

પ્રારંભિક વેગ (u) = 49 m s⁻¹
પ્રવેગ (a) = -9.8 m s⁻² (અધોદિશા)
અંતિમ વેગ (v) = 0 (મહત્તમ ઊંચાઈએ)

(i) મહત્તમ ઊંચાઈ (s):

v² = u² + 2as

(0)² = (49)² + 2 × (-9.8) × s

0 = 2401 - 19.6s

19.6s = 2401

s = 122.5 m

(ii) કુલ સમય:

પહેલા ઉપર જવાનો સમય (t) શોધીએ:

v = u + at

0 = 49 + (-9.8) × t

9.8t = 49

t = 5 s (ઉપર જવાનો સમય)

કુલ સમય = ઉપર જવાનો સમય + નીચે આવવાનો સમય = 5 s + 5 s = 10 s.

૧૪. 19.6 m ઊંચા ટાવરની ટોચ પરથી એક પથ્થરને મુક્ત પતન કરાવવામાં આવે છે. પૃથ્વી પર અથડાય તે પહેલાં તેનો અંતિમ વેગ શોધો. (g = 9.8 m s⁻²)

આપેલ વિગત:

અંતર (s) = 19.6 m
પ્રારંભિક વેગ (u) = 0
પ્રવેગ (g) = 9.8 m s⁻²

ગણતરી (v² = u² + 2gs):

v² = (0)² + 2 × (9.8) × (19.6)

v² = 19.6 × 19.6

v = 19.6 m/s

૧૫. એક પથ્થરને ઊર્ધ્વદિશામાં 40 m s⁻¹ ના પ્રારંભિક વેગથી ફેંકવામાં આવે છે. g = 10 m s⁻² લઈ પથ્થર દ્વારા પ્રાપ્ત કરેલ મહત્તમ ઊંચાઈ શોધો. પથ્થર દ્વારા થયેલ કુલ સ્થાનાંતર તથા કાપેલ કુલ અંતર કેટલું હશે?

આપેલ વિગત:

પ્રારંભિક વેગ (u) = 40 m s⁻¹
પ્રવેગ (a) = -10 m s⁻²
અંતિમ વેગ (v) = 0 (મહત્તમ ઊંચાઈએ)

(a) મહત્તમ ઊંચાઈ (s):

v² = u² + 2as

0 = (40)² + 2 × (-10) × s

0 = 1600 - 20s

20s = 1600

s = 80 m

(b) કુલ સ્થાનાંતર:

પથ્થર જ્યાંથી ફેંકાયો હતો ત્યાં જ પાછો ફરે છે, તેથી કુલ સ્થાનાંતર = 0 m.

કુલ અંતર = ઉપર જવા માટે 80 m + નીચે આવવા માટે 80 m = 160 m.

૧૬. પૃથ્વી તથા સૂર્ય વચ્ચે લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળની ગણતરી કરો. (પૃથ્વીનું દળ = 6 × 10²⁴ kg, સૂર્યનું દળ = 2 × 10³⁰ kg, બે વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર = 1.5 × 10¹¹ m, G = 6.7 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²)

ગણતરી (F = G(Mm)/r²):

F = (6.7 × 10⁻¹¹) × (6 × 10²⁴) × (2 × 10³⁰) / (1.5 × 10¹¹)²

F = (6.7 × 12) × 10⁻¹¹⁺²⁴⁺³⁰ / (2.25 × 10²²)

F = 80.4 × 10⁴³ / (2.25 × 10²²)

F = (80.4 / 2.25) × 10⁴³⁻²²

F = 35.73 × 10²¹ N

F = 3.57 × 10²² N (આશરે)

૧૭. કોઈ પથ્થરને 100 m ઊંચા ટાવરની ટોચ પરથી પડતો મૂકવામાં આવે છે. તે જ સમયે બીજા પથ્થરને જમીન પરથી 25 m s⁻¹ ના વેગથી ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકવામાં આવે છે, તો બંને પથ્થર ક્યારે અને ક્યાં એકબીજાને મળશે ? (g = 10 m s⁻²)

ધારો કે બંને પથ્થર 't' સમય બાદ અને જમીનથી 'x' ઊંચાઈએ મળે છે.

ટાવર પરથી પડતા પથ્થર માટે (નીચેની ગતિ):

કાપેલું અંતર = (100 - x) m; u = 0; a = 10 m s⁻²

s = ut + ½at²

100 - x = (0)t + ½(10)t² = 5t² --- (સમીકરણ 1)

જમીન પરથી ફેંકેલા પથ્થર માટે (ઉપરની ગતિ):

કાપેલું અંતર = x m; u = 25 m s⁻¹; a = -10 m s⁻²

s = ut + ½at²

x = 25t + ½(-10)t² = 25t - 5t² --- (સમીકરણ 2)

સમાધાન:

સમીકરણ 2 માંથી 5t² = 25t - x. આ કિંમત સમીકરણ 1 માં મૂકતાં:

100 - x = (25t - x)

100 = 25t

t = 4 s

હવે, t = 4 ની કિંમત સમીકરણ 2 માં મૂકતાં:

x = 25(4) - 5(4)² = 100 - 5(16) = 100 - 80 = 20 m.

જવાબ: બંને પથ્થરો 4 સેકન્ડ બાદ, જમીનથી 20 મીટરની ઊંચાઈએ મળશે.

૧૮. બૉલને ઊર્ધ્વદિશામાં 10 m s⁻¹ (આ પ્રશ્ન PDF માં અધૂરો છે, પણ અગાઉની PDF માં હતો) ... જો ઊર્ધ્વદિશામાં 49 m s⁻¹ ના વેગથી ફેંકવામાં આવે, તો (a) 6 s બાદ... (b) 6 s બાદ...

(નોંધ: PDF માં આ પ્રશ્ન 13, 15, 21, 22 સાથે મળતો આવે છે, પણ આ પ્રશ્ન 18 (page 119) અધૂરો છે. અહીં અગાઉની PDF મુજબ સંપૂર્ણ પ્રશ્ન 18 નો ઉકેલ આપેલ છે.)

પ્રશ્ન (અગાઉની PDF મુજબ): ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકવામાં આવેલ એક દડો 6 s બાદ ફેંકવાવાળાના હાથમાં પાછો આવે છે. તો, (a) તે કેટલા વેગથી ઉપર ફેંકવામાં આવેલ છે ? (b) તેણે પ્રાપ્ત કરેલ મહત્તમ ઊંચાઈ કેટલી ? (C) 4 s બાદ દડાનું સ્થાન શોધો. (g = 9.8 m s⁻² લો)

આપેલ વિગત: કુલ સમય (T) = 6 s. માટે, ઉપર જવાનો સમય (t) = 3 s. g = -9.8 m s⁻².

(a) પ્રારંભિક વેગ (u):

v = u + gt ⇒ 0 = u + (-9.8 × 3) ⇒ u = 29.4 m/s.

(b) મહત્તમ ઊંચાઈ (s):

s = ut + ½gt² ⇒ s = (29.4 × 3) + ½(-9.8)(3)² = 88.2 - 44.1 = 44.1 m.

s = ut + ½gt² (કુલ ગતિ માટે t=4 s)

s = (29.4 × 4) + ½(-9.8)(4)² = 117.6 - (4.9 × 16) = 117.6 - 78.4 = 39.2 m.

(દડો 4 સેકન્ડ બાદ જમીનથી 39.2 મીટર ઊંચાઈએ હશે).

૧૯. કોઈ પ્રવાહીમાં ડૂબાડેલ પદાર્થ પર ઉત્પ્લાવક બળ કઈ દિશામાં કાર્ય કરે છે?

પ્રવાહીમાં ડૂબાડેલ પદાર્થ પર ઉત્પ્લાવક બળ હંમેશા ઊર્ધ્વદિશામાં (ઉપરની તરફ) કાર્ય કરે છે.

૨૦. પાણીમાં ડૂબાડેલ પ્લાસ્ટિકના બ્લૉકને છોડી દેતાં તે પાણીની સપાટી પર કેમ આવી જાય છે?

કારણ કે પ્લાસ્ટિકના બ્લૉકની ઘનતા પાણીની ઘનતા કરતાં ઓછી છે. તેથી, બ્લૉક પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ (Buoyant Force) તેના વજન કરતાં વધુ હોય છે, જે તેને સપાટી પર ધકેલે છે.

૨૧. 50 g દળ ધરાવતા કોઈ પદાર્થનું કદ 20 cm³ છે. જો પાણીની ઘનતા 1 g cm⁻³ હોય, તો પદાર્થ તરશે કે ડૂબશે?

આપેલ વિગત: પદાર્થનું દળ = 50 g, પદાર્થનું કદ = 20 cm³.

ગણતરી (ઘનતા):

પદાર્થની ઘનતા = દળ / કદ = 50 g / 20 cm³ = 2.5 g cm⁻³.

નિર્ણય:

પદાર્થની ઘનતા (2.5 g cm⁻³) પાણીની ઘનતા (1 g cm⁻³) કરતાં વધારે છે, તેથી પદાર્થ ડૂબી જશે.

૨૨. 500 g ના સીલબંધ પૅકેટનું કદ 350 cm³ છે. પેકેટ 1 g cm⁻³ ઘનતા ધરાવતા પાણીમાં ડૂબશે કે તરશે? આ પૅકેટ દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું દળ કેટલું હશે?

આપેલ વિગત: પૅકેટનું દળ = 500 g, પૅકેટનું કદ = 350 cm³.

(a) તરશે કે ડૂબશે? (ઘનતા ગણતરી):

પૅકેટની ઘનતા = દળ / કદ = 500 g / 350 cm³ ≈ 1.43 g cm⁻³.

પૅકેટની ઘનતા (1.43) પાણીની ઘનતા (1) કરતાં વધારે છે, તેથી પૅકેટ ડૂબી જશે.

(b) વિસ્થાપિત પાણીનું દળ:

આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ, પદાર્થ જ્યારે સંપૂર્ણ ડૂબી જાય છે, ત્યારે તે તેના કદ જેટલું પાણી વિસ્થાપિત કરે છે.

વિસ્થાપિત પાણીનું કદ = પૅકેટનું કદ = 350 cm³.

વિસ્થાપિત પાણીનું દળ = ઘનતા × કદ = 1 g/cm³ × 350 cm³ = 350 g.

આ પ્રકરણનો સ્વાધ્યાય અહીં પૂર્ણ થાય છે.